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(理)选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题

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高二数学(理)选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 1.若质点 M 受力 F 的作用沿 x 轴由点 A(a,0)移动至点 B(b,0),并设 F *行于 x 轴,如果力 F 是质点 所在位置的函数 F=F(x),a≤x≤b,则 F 对质点所作的功为( A.?a F(x)dx ) D.F(x)(b-a)

?b

B.?bF(x)dx

?a

C.F(x)(a-b)

2. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( A.1 B. 2 C.-1

) D.0

3. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) 与 g ( x) 满足 f ?( x) ? g ?( x) , 则 f ( x) 与 g ( x) 满足( A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 ) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) D.-4 )

4.函数 y ? x 3 ? 3x 在[-1,2]上的最小值为( A.2 B.-2 C.0

5. 设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导,y ? f ( x) 的图象如图 1 所示, 则导函数 y ? f ?( x) 可能为 ( y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1
3 2

A

B )

C

D

6.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是( A.3 B.2 C.1

D.0 )

7.曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是 ( A. 5
3

B. 2 5
2

C. 3 5

D.0

8.曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为(



A. y ? 3x ? 4
3

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3 D. y ? 4 x ? 5 ( )

9.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是

B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0 3? ) 与坐标轴围成的面积是( 10.曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 2

A. a ? 0

A.4

B.

5 2

C.3

D.2 ) 1 D. 4 )
b

11.由定积分的几何意义知?1( 1-?x-1?2)dx=(

?0

1 A. 2

π B. 4

π-2 C. 4

12.若函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)>f′(x),当 a>b 时,下列不等式成立的是( A.e f(a)>e f(b)
a b

B.e f(a)>e f(b)

b

a

C.e f(b)>e f(a)

b

a

D.e f(b)>e f(a)

a

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示, 则不等式 ( x2 ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集 .

14.垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x +3x-5 相切的直线方程是 15.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 是的单调函数,则实数 m 的取值范围是
3 2

3

.
王新敞
奎屯 新疆

16.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ?

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取 3
.

值范围是
三、解答题:(六小题,共 70 分)

17.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3

在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值.(10 分)

18. 当 x ? 0 时 ,证明不等式 e x ? 1 ? x ?

1 2 x 成立. (10 分) 2

19.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值,讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大

值还是极小值;(12 分)

3 20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 ; 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的个数。

21. (12 分)(2011· 江西高考)设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2
2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

1

1

22.(14 分)(2012· 安阳高二检测)设函数 f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.

高二数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题参考答案:
一.选择题: 1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B 8. B 9. C 10. C 11.B 12.D

1 二.填空题:13. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??) 14. y=3x-5 15. [ ,+∞) 3

? 2? 16. [0, ) ? [ , ? ) 2 3

解 : f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? f ' (?2) ? 3(?2) 2 ? 2a(?2) ? b ? 0 ?12 ? 4a ? b ? 0

三.解答题:17. 又f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3? a ? 1, b ? ?8
又f ( x)过(1, 0)点,?13 ? a ?12 ? b ?1 ? c ? 0 ?c ? 6
18. 证明: 设 f ?x ? ? e ? 1 ? x ?
x

1 2 x , 则 f ' ?x ? ? e x ? 1 ? x , 令 g ( x) ? e x ? 1 ? x, 则 g ' ( x) ? e x ? 1 , 2 当 x ? 0 时, g ' ?x ? ? e x ? 1 ? 0 ,∴ g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,而 g (0) ? 0 , ∴ g ?x ? ? g (0) ? 0, g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 f ' ( x) ? 0 在 ?0,??? 恒成立. 1 2 x ∴ f ( x) 在 ?0,??? 上 单 调 递 增 , 又 f (0) ? 0, ∴ e ? 1 ? x ? x ? 0, 即 x ? 0 时 , 2 1 e x ? 1 ? x ? x 2 成立. 2

19 解 : f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 , 依 题 意 , f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 , 即 ?

?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解得 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.

a ? 1, b ? 0 .∴ f ( x) ? x 3 ? 3x, f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 .

若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ? ?) 上 是增函数.若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, 1) 上是减函数.所以, f (?1) ? 2 是极大 值; f (1) ? ?2 是极小值. a 2 20.解: (1) f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? 2 a (2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1)2 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?
a ? 0, 2 2 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , a

? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

④若 a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 6( x ? 1)2 ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;⑤若 a ? 2 ,由(1)
2 1 3 3 知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( ? ) 2 ? ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; a a 4 4

综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点。
1?2 1 21.解:(1)由 f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a,

2 2 1 ? ?2? 2 当 x∈? ?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′?3?=9+2a;令9+2a>0,得 a>-9. 2 1 ? 所以,当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间. 9 (2)令 f′(x)=0, 1- 1+8a 1+ 1+8a 得两根 x1= ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 7 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- . 3 3 10 得 a=1,x2=2,从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 22. 解:(1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mln x≥-x, x 即 m≤ . ln x x 记 φ(x)= , ln x 则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m≤φ(x)min, ln x-1 求得 φ′(x)= , ln 2x 当 x∈(1,e)时;φ′(x)<0; 当 x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0. 故 φ(x)在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 φ(x)min=φ(e)=e,故 m≤e. (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2ln x=a 在[1,3]上恰有两个相异实 根. 2 令 g(x)=x-2ln x,则 g′(x)=1- . x 当 x∈[1,2)时,g′(x)<0; 当 x∈(2,3]时,g′(x)>0.

∴g(x)在[1,2)上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数. 故 g(x)min=g(2)=2-2ln 2, 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln 3, ∵g(1)>g(3), ∴只需 g(2)<a<g(3),

故 a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3).




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