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江西省临川一中2012届高考五月模拟考试(一)--数学(理)

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江西省临川一中 2012 届高三 5 月模拟考试(一)

数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 设集合 A = ? x

? x ?1 ? < 0 ? , B = x x ? 1 < a ,则“ a = 1 ”是“ A I B ≠ ? ”的( ? x +1 ?

{

}



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件

2.已知 Z 表示复数 Z 的共轭复数,已知 Z = 1 + i ,则 (

Z Z

)3 = (



4
D. ? i ( )

A. ?1 B. 1 C. 3.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A. 4 3 C. 12 3 B. 8 3

6 2
D. 24 3

侧俯俯

俯俯俯
4.已知 α 是第二象限角,其终边上一点 P ( x , 5 ) ,且 cos α =

π 2 x ,则 sin(α + ) = 2 4
10 4

A. ?

10 4

B. ?

6 4

C.

6 4

D.

5.在等比数列中,已知 a 1 a a 15 A. 3 B. 9

3 8

3 a9 的值为 = 243 ,则 a 11

( D. 81



C. 27

6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 , OA + AB + AC = 0 且 | OA |=| AB | ,则向量 CA 在 CB 上的射影的数量为 ( (A) 3 ) (B) 3 (C) ? 3 (D) ? 3

uuu r

7.已知椭圆

x2 + y 2 = 1 的焦点为 F1、F2,在长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的 4

直线交椭圆于 P,则使得 PF1 ? PF2 < 0 的 M 点的概率为(

uuur uuuu r



1

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A.

2 3

B.

2 6 3

C.

6 3


D.

1 2
开始

8.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为( A. 0

B.

3 2

s = 0, n = 1
n ≤ 2010

s = s + sin nπ 3



C. 3

D. ?

3 2

输出 s

9.已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数,并满足: (1) f ( x ) = 2a x g ( x ), ( a > 0, a ≠ 1) ; (2) g ( x ) ≠ 0 ; (3) f ( x ) g ' ( x ) < f ' ( x ) g ( x ) 且

n = n+1
8题

结束

f (1) f ( ?1) + = 5 ,则 a = g (1) g ( ?1)





A.

1 2

B. 2

C.

5 4

D. 2 或

1 2

? y = k ( x ? 3) x2 y2 ? 10.已知直线 y = k ( x ? 3 ) 与双曲线 消去 ? = 1 ,有如下信息:联立方程组 ? x 2 y 2 m 27 ? =1 ? ? m 27
分类讨论: 当 A = 0 时, (1) 该方程恒有一解; 当 A ≠ 0 (2) y 后得到方程 Ax 2 + Bx + C = 0 , 时, ? = B 2 ? 4 AC ≥ 0 恒成立。在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是 ( A. [9, +∞ ) ) C. (1, 2] D. [2, +∞ )

B. (1, 9]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上。 ) 11 . 已 知 幂 函 数 y = x
m2 ? 2 m? 3

(m ∈ N ? ) 的 图 象 与 x 轴 、 y 轴 无 交 点 且 关 于 原 点 对 称 , 则

m = ___________。
12.已知 a =



1 π (1 + 1 ? x 2 )dx ,则 [(a ? ) x ? ]6 展开式中的常数项为___________ ?1 2 x
1

13.现有 7 件互不相同的产品,其中有 4 件次品,3 件正品,每次从中任取一件测试,直到 4 件次 品全被测出为止,则第三件次品恰好在第 4 次被测出的所有检测方法有_____种.
14.在正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中,下列命题中正确的是___________.

①点 P 在线段 BC1 上运动时,三棱锥 C ? D1 AP 的体积不变; ②点 P 在线段 BC1 上运动时,直线 AP 与*面 ACD1 所成角的大小不变;
2

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③点 P 在线段 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④点 P 在线段 BC1 上运动时, | PD |=| PA1 | 恒成立. 三、选做题(共 5 分,只能从下面两小题中选做一题,两题全做的,只计第一小题得分) 15.①在极坐标系中,点 A(2, ?

π

3

)到直线 l : ρ cos(θ ?

π

6

) = 1 的距离为

②(不等式选讲选做题) 设函数 f(x)=|x-2|+x,g(x)=|x+1|,则 g(x)<f(x)成立时 x 的取值范围 四、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = (1)若方程 f ( x ) = 0 在 x ∈ [0,

3 sin 2 x + 2cos 2 x ? m 。

π
2

] 上有解,求 m 的取值范围;

( 2 ) 在 ?ABC 中 , a , b, c 分 别 是 A, B , C 所 对 的 边 , 当 ( 1 ) 中 的 m 取 最 大 值 , 且

f ( A) = ?1, b + c = 2 时,求 a 的最小值。

17. (本小题满分 12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一道和第二道工序加工 而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A, B 两个等级.对每种产品, 两道工序的加工结果都为 A 级 时,产品为一等品,其余均为二等品。 (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、 乙产品为一等品的概率 P甲 , P乙 ; (2)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ ,η 分别 表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的条件
甲 等级 利 一等 润 产品 5(万元) (万元) 2.5(万元) (万元) 二等 工序 概 第一工序 率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8 第二工序

(表一)

下,求 ξ ,η 的分布列及 Eξ , Eη ; (3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如 表三所示。该工厂有工人 40 名,可用资金




2.5(万元) 1.5(万元) (万元) (万元)

(表二)
项目 量 资金(万元) 工人 名) 资金(万元) (

60 万元。设 x , y 分别表示生产甲、乙产品的
数量,在(2)的条件下, x , y 为何值时, z = xEξ + yEη 最大?最大值是多少? (解答时须给出图示说明)

产品 甲 乙 8 2 5 10

(表三)

3

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18. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ⊥ BC , P 为 A1C1 的中点, 且 AB = BC = kPA , (1)当 k = 1 时,求证: PA ⊥ B1C ;

B1 P A1

C1

(2)当 k 为何值时,直线 PA 与*面 BB1C1C 所成的角

的正弦值为

1 ,并求此时二面角 C ? PA ? B 的余弦值。 4
A

B

C

19. (12 分)设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合: ①

a n + an+2 ≤ a n +1 2

② a n ≤ M ,其中 n∈N*,M 是与 n 无关的常数

(1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集合 W 之间的关系; (2)设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且{bn}∈W,M 的最小值为 m,求 m 的值; (3)在(2)的条件下,设 C n = 能成为等比数列.

1 [bn + (m ? 5) n ] + 2 ,求证:数列{Cn}中任意不同的三项都不 5

20. (本小题满分 13 分) 在*面直角坐标系中,已知 A1 ( ? 2, 0), A2 ( 2,0), P ( x , y ), M ( x ,1), N ( x , ?2) ,若实数 λ 使 得 λ OM ? ON = A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点)
2

uuuu uuur r

uuuu uuuu r r

(1)求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型; (2)当 λ =

2 时,若过点 B(0, 2) 的直线与(1)中 P 点的轨迹交于不同的两点 E , F ( E 在 2

,试求 ?OBE 与 OBF 面积之比的取值范围。 B , F 之间)

4

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21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

1? x + ln x ax

(1)若函数 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3)当 a = 1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n >

1 1 1 1 + + +L+ 。 2 3 4 n

5

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参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 答案 A D A B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11. 2 12.-160 13. 1080

5 B

6 A

7 C

8 A

9 B

10 D

14.①③④

三、选做题(共 5 分) 15.① 1 ② (?3,1) ∪ (3,+∞)

16.解: (1) f ( x ) = 2sin(2 x +

π
6 ≤

) + 1 ? m ,∴ m = 2sin(2 x +

π

? π? ) + 1 在 ? 0, ? 内有解…3 6 ? 2?

Q0 ≤ x ≤

π
2



π
6

≤ 2x +

π
6

7π π ∴ 0 ≤ 2sin(2 x + ) ≤ 3,∴ 0 ≤ m ≤ 3 …5 6 6

(2)Q m = 3,∴ f ( A) = 2sin(2 A +

π
6

) ? 2 = ?1 ,

∴ sin(2 A +

π

1 π π ) = ,∴ 2 A + = + 2kπ 或 6 2 6 6

2A +

π
6

=

5π π + 2kπ ,( k ∈ Z ) Q A ∈ (0, π ) ∴ A = 6 3

……7

∴A=

π
3

,Q b + c = 2 ≥ 2 ab ,当且仅当 b = c 时 bc 有最大值 1。

……9

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = (b + c )2 ? 3bc = 4 ? 3bc ,…10

∴ a 有最小值 1,此时 b = c = 1 …12
17.解: (1)解: P = 0.8 × 0.85 = 0.68, 甲 (2)解:随机变量 ξ 、 η 的分别列是

P乙 0.75 × 0.8 = 0.6.

……2

ξ
P

5 0.68

2.5 0.32

η
P

2.5 0.6

1.5 0.4

Eξ = 5 × 0.68 + 2.5 × 0.32 = 4.2, E η = 2 .5 × 0 .6 + 1 .5 × 0 .4 = 2 .1 .
…6

6

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?5 x + 10 y ≤ 60, ? (3)解:由题设知 ?8 x + 2 y ≤ 40, 目标函数为 ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0. ?

……8

z = xEξ + yEη = 4.2 x + 2.1 y.

……9

z 作出可行域(如图) ,作直线 l : 4.2 x + 2.1 y = 0, 将 l 向右上方*移至 l1 位置时,直线经过可 行域上的点 M 点与原点距离最大,此时 z = 4.2 x + 2.1 y ……10

取最大值.解方程组 ?

?5 x + 10 y = 60, ?8 x + 2 y = 40.
…12

得 x = 4, y = 4. 即 x = 4, y = 4 时,z 取最大值 25.2。 18.解: (1)设 AB = PA = 1, A1 P =

2 2 ,如图建系,则 ∴ AA1 = 2 2
z

1 1 2 2 P( , , ), A(1, 0, 0), B1 (0, 0, ), C (0,1, 0) , 2 2 2 2 r uuu r 1 1 2 uuuu 2 PA = ( , ? , ? ) , B1C = (0,1, ? ) 2 2 2 2

B1 P A1 B
A

C1
y

uuu uuuu r r ∴ PA ? B1C = 0,∴ PA ⊥ B1C

x …..4 .

C

uuu 1 1 r 1 1 (2)设 B1 (0, 0, z) A(1,0,0),P( , , z) PA=( ,- ,-z) 则 , 2 2 2 2

A

易知面 BB1C1C 的法向量 n1 = 1,0,0) 设直线 PA 与*面 BB1C1C 所成角为 α , (

r uu

则 sin α =

1 2 1 + z2 2

=

7 1 14 2 ,∴ z = ,Q z>0 ∴ z= , 2 4 2

1 1 14 ), ∴ P( , , 2 2 2

uuu r uuu r 1 7 1 1 1 14 ..8 . ) , | PA |= + = 2 = 2 AB,∴ k = ∴ PA = ( , ? , ? 2 2 2 2 2 2
?x = 0 ? uu r r uuu ? AB = ( ?1, 0, 0) 设面 ABP 的法向量 n1 = ( x , y , z ) ∴ ? 1 1 14 z=0 ? x? y? 2 2 ?2 uu r ... ...9 则 x = 0, y = ? 14, z = 1 , ∴ n1 = (0, ? 14,1)

7

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?x + y = 0 ? uu r uuur ? 则 AC = ( ?1,1, 0) 设面 APC 的法向量 n2 = ( x , y , z ) ∴ ? 1 1 14 x? y? z=0 ? 2 2 ?2 uu r 设二面角 C ? PA ? B 的大小为 θ 则 x = 1, y = 1, z = 0 ,∴ n2 = (1,1, 0) cos θ = 14 105 = 15 15 2
∴ 二面角 C ? PA ? B 的余弦值为

105 15

..12 .

19(12 分)解:(1) Sn=-n2+9n
S n + S n+2 < S n +1 满足① 2

9 81 S n = ?( n ? ) 2 + 当 n=4 或 5 时,Sn 取最大值 20 2 4 ∴Sn≤20 满足② ∴{Sn}∈W …………4 分 n (2) bn+1-bn=5-2 可知{bn}中最大项是 b3=7 ∴ M ≥7 M 的最小值为 7 …………8 分 (3) C n = n + 2 ,假设{Cn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)

成等比数列,则 bq2=bp·br ∴ (q + 2 ) 2 = ( p + 2 )(r + 2 ) ∴ (q 2 ? pr ) + (2q ? p ? r ) 2 = 0 ∵ p、q、r∈N
*

?q 2 = pr ? ?2 q ? p ? r = 0

∴ p=r 与 p≠r 矛盾 ∴ {Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列 …………12 分 uuuu r uuur uuuu r uuuu r 20. (1) OM = ( x ,1), ON = ( x , ?2), A1 P = ( x + 2, y ), A2 P = ( x ? 2, y )

uuuu uuur uuuu uuuu r r r Q λ 2 OM ? ON = A1 P ? A2 P

∴ ( x 2 ? 2)λ 2 = x 2 ? 2 + y 2









(1 ? λ 2 ) x 2 + y 2 = 2(1 ? λ 2 ) ... ...2
1 ○. λ = ±1 时方程为 y = 0 轨迹为一条直线... ...3

③. λ = 0 时方程为 x 2 + y 2 = 2 轨迹为圆... ...4 ③. λ ∈ ( ?1, 0) ∪ (0,1) 时方程为

x2 y2 + = 1 轨迹为椭圆 2 2(1 ? λ 2 )

....5 ...

④. λ ∈ ( ?∞ , ?1) ∪ (1, +∞ ) 时方程为

x2 y2 ? = 1 轨迹为双曲线。 2 2(λ 2 ? 1)
8

.. ..6

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x2 2 (2)Q λ = ,∴ P 点轨迹方程为 + y2 = 1 , 2 2

1 1 ∴ S?OBE = × 2 × x1 , S?OBF = × 2 × x2 2 2

∴ S?OBE : S?OBF = x1 : x2

... ...7

设直线 EF 直线方程为 y = kx + 2 ,联立方程可得: (1 + 2k 2 ) x 2 + 8kx + 6 = 0 。

3 8k 6 , x1 ? x2 = , ∴ ? = 64k 2 ? 24 ? 48k 2 > 0,∴ k 2 > . x1 + x2 = ? 2 2 1 + 2k 1 + 2k 2
x1 x2 ( x1 + x2 )2 64k 2 3 64k 2 16 2 ∴ = = + + 2,Q k > ,∴ ∈ (4, ) 2 2 x1 ? x2 6(1 + 2k ) x2 x1 2 6(1 + 2k ) 3
.10

x 1 ∴ 1 ∈ ( ,1) ∪ (1, 3) x2 3
由题意可知: S ?OBE < S ?OBF ,所以 21.解: (1)∵ f ( x ) = ∵

S?OBE 1 ∈ ( ,1) S?OBF 3
∴ f ′( x ) =

...12 ..

1? x + ln x ax

函数 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上为增函数 ∴

ax ? 1 ... ...1 ( a > 0) ax 2 ax ? 1 f ′( x ) = ≥ 0 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立 ax 2

ax ? 1 ≥ 0 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立,即 a ≥

1 对 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立∴ x

a ≥1 4 分

1 1 a( x ? ) x ? a = a , x > 0, (2)Q a ≠ 0 f '( x ) = 2 2 ax x
当 a < 0 时, f '( x ) > 0 对 x ∈ (0, +∞ ) 恒成立,∴ f ( x ) 的增区间为 (0, +∞ ) ... ...5 当 a > 0 时, f '( x ) > 0 ? x >

1 1 , f '( x ) < 0 ? x < a a

1 1 ... ∴ f ( x ) 的增区间为 ( , +∞ ) ,减区间为( 0, )...6 a a
(3)当 a = 1 时, f ( x ) = 当 n > 1 时,令 x =

1? x x ?1 + ln x , f ′( x ) = 2 ,故 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上为增函数。 x x





n ,则 x > 1 ,故 f ( x ) > f (1) = 0 ... ...8 n ?1 n 1? n ? ? n ? 1 + ln n = ? 1 + ln n > 0 ,即 ln n > 1 f? ?= n n ?1 n n ?1 n ?1 n ? n ?1? n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ln n > ln + ln + ln + ??? + ln > + + + ??? + 1 2 3 n ?1 2 3 4 n
9




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